REGLA DE LA MULTIPLICACION

 De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar

Las relaciones y son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:
Calcular probabilidades de intersecciones de eventos con base en probabilidades condicionales.
Esta regla de manera general se puede expresar como:
Sea eventos tales que . Entonces

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)
Un lote contiene ítems de los cuales son defectuosos. Los ítems son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote).          ¿Cuál es la probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento que es la intersección entre los eventos y . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es

 

CRITERIOS DE LA PROBABILIDAD

LA REGLA DE ADICION

P (A U B) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Eventos no mutuamente excluyentes
P (A U B) = P ( A ) + P ( B ) Eventos mutuamente excluyentes

Ejemplo: 1.Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas bien barajada. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)

Solución: Hay52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos
Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.
Hay 6figuras negras B = Que la carta sea una figura negra

REGLA DE PROBABILIDAD CONDICIONAL. 

La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento se llama probabilidad condicional y se denota por que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:
La probabilidad condicional es una función de probabilidad, definida como
¿ Es una función de probabilidad?
es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas
Axioma I
para todo evento .
Como

entonces dividiendo por se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III
Si es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los eventos son también mutuamente excluyentes y así

Ejemplo

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad , una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución:

Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta
I : el evento la señal es útil con interferencia pura
S: el evento que indica ocurre una señal
Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así: